9.2 Orthogonale Kontraste

In diesem Teil erstellen wir ein Modell mit drei bzw. vier Prädiktoren bzw. Gruppen. Wichtig für dich ist vor allem, dass du verstehst, was orthogonale Kontraste sind und wie diese berechnet werden. Später werden wir in der Anwendung der Verfahren nicht erneut diese einzelnen Schritte händisch berechnen, sondern sie durch Jamovi berechnen lassen.

Wir haben bereits Kontraste bei Modellen kennengelernt, mit denen wir den Unterschied zwischen zwei Gruppen testen können. Häufig haben wir allerdings mehr als zwei Gruppen, beispielsweise wenn wir drei verschiedene instruktionale Methoden testen möchte. Während wir bei zwei Gruppen die Kontrastgewichte immer mit -1 und 1 definieren können, sind die Kontrastgewichte bei mehreren Gruppen ein wenig komplexer. In diesem Teil wirst du zunächst orthogonale Kontraste kennenlernen, die wir häufig verwenden, um Hypothesen bei mehreren Gruppen zu testen.

9.2.1 Orthogonale Kontraste bei zwei Prädiktoren

Bei zwei Gruppen benötigen wir lediglich einen Kontrast, um das erweiterte Modell aufzustellen:

Gruppe 1 Gruppe 2
\(\lambda_{1}\) 1 -1

\[ Y_i = \beta_0 + \beta_1 * X_1 + \epsilon_i \]

Kontraste sind im Grunde nichts anderes als spezifische Hypothesen, die wir testen, indem wir sie als Parameter definieren. Indem wir den Einfluss des Parameters \(b_1\) testen, prüfen wir, ob es sich beide Gruppen in ihrem Mittelwert unterscheiden. Da es zwei Gruppen sind, genügen uns \(2 - 1 = 1\) Prädiktoren.

Bei zwei Gruppen muss lediglich unsere bekannte Regel der Kontraste erfüllt sein:

\[ \sum_k \lambda_k = 0 \]

9.2.2 Orthogonale Kontraste bei drei Prädiktoren

Haben wir drei Gruppen, deren Mittelwerte wir vergleichen möchten, benötigen wir eine andere Kontrastkodierung und immer noch \(k-1\) Prädiktoren. Beispielsweise benötigen wir zwei Kontraste, wenn wir drei Gruppen in unser Modell aufnehmen möchten. Hier ein Beispiel:

Gruppe1 Gruppe2 Gruppe3
\(\lambda_{1}\) -2 1 1
\(\lambda_{2}\) 0 -1 1

Oder im Modell ausgedrückt:

\[ \begin{aligned} \hat{Y} &= b_0 + b_1 * (-2) + b_2 * (0) \\ \hat{Y} &= b_0 + b_1 * (1) + b_2 * (-1) \\ \hat{Y} &= b_0 + b_1 * (1) + b_2 * (1) \end{aligned} \]

Anhand des ersten Kontrasts \(b_1\) testen wir die Hypothese, ob sich der Mittelwert von Gruppe 2 sowie der Gruppe 3 vom Mittelwert der Gruppe 1 unterscheidet. Anhand des zweiten Kontrasts \(b_2\) testen wir, ob sich der Mittelwert der Gruppe 2 vom Mittelwert der Gruppe 3 unterscheidet.

9.2.3 Zweite Regel orthogonaler Kontraste

Sobald wir mehrere Kontraste gleichzeitig testen, müssen wir eine weitere Regel aufstellen. Orthogonale Kontraste müssen neben folgender Regel \(\sum_k \lambda_k = 0\) zusätzlich diese Regel erfüllen:

\[ \sum_k \lambda_{1} * \lambda_{2} = 0 \]

Das Produkt der einzelnen Lambdagewichte sollte 0 ergeben. Unsere beiden Kontraste von oben wären nach dieser Definition orthogonal:

## [1] TRUE

Folgende Kontraste wären demnach nicht orthogonal:

Gruppe1 Gruppe2 Gruppe3
\(\lambda_{1}\) -1 0 1
\(\lambda_{2}\) 0 -1 1

Da:

## [1] FALSE

Die Orthogonalität der Kontraste ist wichtig, da die Regressionskoeffizienten ansonsten nicht die Mittelwertunterschiede unserer spezifischen Hypothesen testen. R berechnet bei der Aufstellung der Modelle im Hintergrund in der Regel immer orthogonale Kontraste. Wir werden später beim Prüfen statistischer Hypothesen anhand dieser Modelle auf diese orthogonalen Kontraste zurück kommen.

9.2.4 Orthogonale Kontraste bei vier Gruppen

Wenn wir testen möchten, ob sich die Mittelwerte von vier Gruppen voneinander unterscheiden, benötigen wir 4 - 1 = 3 Kontraste. Ein Beispiel orthogonaler Kontraste wäre:

Gruppe 1 Gruppe 2 Gruppe 3 Gruppe 4
\(\lambda_{1}\) -3 1 1 1
\(\lambda_{1}\) 0 -2 1 1
\(\lambda_{1}\) 0 0 -1 1

Da:

## [1] TRUE