11.2 Marginal Means

Im Kontext einer ANCOVA wird häufig von angepassten Mittelwerten oder Marginal Means gesprochen. Marginal Means sind im Kontext der Varianzanalyse die hervorgesagten Mittelwerte unserer erweiterten Modelle.

11.2.1 Einfaktorielle Varianzanalyse

Bei der einfaktoriellen Varianzanalyse ohne eine Kovariate sind die Marginal Means das gleiche wie die Mittelwerte er einzelnen Gruppen:

\[ Model_{A\ ohne\ Z} = 69.119 - 5.896 * X_1 \]

Um diese Tatsache zu prüfen, setzen wir zunächst die Kontrastgewichte in das erweiterte Modell ein:

## [1] 63.223
## [1] 75.015

Dies entspricht den Mittelwerten der Gruppen:

## # A tibble: 2 x 2
##   gender  mean
##   <fct>  <dbl>
## 1 0       63.2
## 2 1       75.0

11.2.2 ANCOVA

Bei der ANCOVA entsprechen die Marginal Means in der Regel nicht den Mittelwerten der Gruppen. Vielmehr führt das Hinzufügen der Kovariate dazu, dass wir \(Y\) etwas genauer schätzen, da wir einen weiteren Parameter in das Modell hinzugefügt haben (jeder weitere Parameter verbessert die Einschätzung von \(Y\)).

Um die Marginal Means zu berechnen, müssen wir einen Wert für \(Z\) einsetzen. Hierfür wählen wir den Mittelwert der Kovariate:

## [1] 72.28947

In das Modell eingesetzt ergeben sich daher folgende Marginal Means:

\[ Model_{A\ mit\ Z} = 1.4804 - 0.382 * X_1 + 0.9256 * Z \]

## [1] 68.00953
## [1] 68.77353

Wir können dies prüfen, indem wir mithilfe des Pakets emmeans die Marginal Means für dieses Modell berechnen (Die kleinen Abweichungen kommen durch Rundungsfehler zustande):

##  gender emmean    SE df lower.CL upper.CL
##  0        68.0 0.475 73     67.1     69.0
##  1        68.8 0.570 73     67.6     69.9
## 
## Confidence level used: 0.95

Das Modell nimmt nun an, dass Männer in etwa 68.77 Kilogram und Frauen in etwa 68.01 Kilogramm wiegen, wenn man das Gewicht der Personen vor der Diät kontrolliert.

11.2.3 Formel zur Berechnung der Marginal Means

Eine andere Möglichkeit, die Marginal Means zu berechnen, ergibt sich aus folgender Formel:

\[ \bar{Y_k^\prime} = \bar{Y_k} - b_z * (\bar{Z_k} - \bar{Z}) \]

Der Marginal Mean der einzelnen Gruppen ist demnach der angepasste Mittelwert aus der Abweichung der Kovariate der Gruppe vom Mittelwert der Kovariate.

Berechnen wir zunächst die Gruppenmittelwerte der Kovariate:

## # A tibble: 2 x 2
##   gender group_means
##   <fct>        <dbl>
## 1 0             67.1
## 2 1             79.0

Für die Gruppe der Männer ergibt sich daher folgender Marginal Mean:

## [1] 68.78873

Für die Gruppe der Frauen ergibt sich folgender Marginal Mean:

## [1] 68.00337