10.2 Kontrastegewichte

Ähnlich wie bei den einfaktoriellen Versuchsplänen, müssen wir die Kategorien in Kontrastgewichte überführen. Wir hatten im letzten Modul gesagt, dass bei n Gruppen \(k - 1\) Kontraste definiert werden müssen. Diese Regel ändert sich nicht bei mehrfaktoriellen Versuchsplänen. In unserem Beispiel mit den Diäten und dem Geschlecht hatten wir 6 Versuchsgruppen. Wir benötigen daher fünf Prädiktoren. Zudem müssen wir erneut darauf achten, dass unsere Prädiktoren orthogonal sind und folgende Regeln beachten:

\[ \sum_k \lambda_k = 0 \]

\[ \sum_k \lambda_{1} * \lambda_{2} = 0 \]

Ein solches Set wäre beispielsweise:

Contrast Fragestellung \(D_1 M\) \(D_2 M\) \(D_3 M\) \(D_1 F\) \(D_2 F\) \(D_3 F\)
\(\lambda_{1}\) Diät 1/2 vs. Diät 3 1 1 -2 1 1 -2
\(\lambda_{2}\) Diät1 vs. Diät 2 1 -1 0 1 -1 0
\(\lambda_{3}\) Männer vs. Frauen 1 1 1 -1 -1 -1
\(\lambda_{4}\) Interaktion \(\lambda_{1}\) und \(\lambda_{3}\) 1 1 -2 -1 -1 2
\(\lambda_{5}\) Interaktion \(\lambda_{2}\) und \(\lambda_{3}\) 1 -1 0 -1 1 0

Mit unserem Set der fünf orthogonalen Kontrastgewichte beantworten wir gleichzeitig fünf verschiedene Fragestellungen. Jede Fragestellung können wir testen, indem wir einen Kontrast spezifisch testen. \(D_1 M\) beispielsweise steht für die Gruppe der Männer, welche Diät 1 erhalten.

10.2.1 Beispiel \(\lambda_{1}\)

Den ersten Kontrast Diät1/2 vs. Diät 3 könnten wir prüfen, indem wir den Prädiktor \(X_1\) auf 0 setzen und folgende Modelle aufstellen und einen F-Test aus diesen Modellen berechnen:

Contrast Fragestellung \(D_1 M\) \(D_2 M\) \(D_3 M\) \(D_1 F\) \(D_2 F\) \(D_3 F\)
\(\lambda_{1}\) Diät 1/2 vs. Diät 3 1 1 -2 1 1 -2

\[ \begin{aligned} Model_{A} &= b_0 + b_1 * X_1 &+ b_2 * X_2 + b_3 * X_3 + b_4 *X_4 + b_5 * X_5 \\ Model_{C} &= b_0 &+ b_2 * X_2 + b_3 * X_3 + b_4 *X_4 + b_5 * X_5 \end{aligned} \]

Im erweiterten Modell würden wir daher pro Gruppe die Kontrastgewichte in \(X_1\) einsetzen:

\[ \begin{aligned} \hat{Y} &= b_0 + b_1 * 1 &+ b_2 * X_2 + b_3 * X_3 + b_4 *X_4 + b_5 * X_5 \\ \hat{Y} &= b_0 + b_1 * 1 &+ b_2 * X_2 + b_3 * X_3 + b_4 *X_4 + b_5 * X_5 \\ \hat{Y} &= b_0 + b_1 * -2 &+ b_2 * X_2 + b_3 * X_3 + b_4 *X_4 + b_5 * X_5 \\ \hat{Y} &= b_0 + b_1 * 1 &+ b_2 * X_2 + b_3 * X_3 + b_4 *X_4 + b_5 * X_5 \\ \hat{Y} &= b_0 + b_1 * 1 &+ b_2 * X_2 + b_3 * X_3 + b_4 *X_4 + b_5 * X_5 \\ \hat{Y} &= b_0 + b_1 * -2 &+ b_2 * X_2 + b_3 * X_3 + b_4 *X_4 + b_5 * X_5 \end{aligned} \]

Ist der F-Test signifikant, können wir schlussfolgern, dass Probanden die Diät 3 erhalten mehr Gewicht reduzieren als die Probanden, welche die anderen Diäten erhalten.

10.2.2 Beispiel \(\lambda_{3}\)

Der dritte Kontrast prüft, ob Männer über die sechs Wochen mehr Gewicht verlieren als Frauen:

Contrast Fragestellung \(D_1 M\) \(D_2 M\) \(D_3 M\) \(D_1 F\) \(D_2 F\) \(D_3 F\)
\(\lambda_{3}\) Männer vs. Frauen 1 1 1 -1 -1 -1

Im Modell gesprochen würden wir diese Hypothese durch folgende Modelle prüfen:

\[ \begin{aligned} Model_{A} &= b_0 + b_1 * X_1 + b_2 * X_2 + b_3 * X_3 &+ b_4 * X_4 + b_5 * X_5 \\ Model_{C} &= b_0 + b_1 * X_1 + b_2 * X_2 &+ b_4 * X_4 + b_5 * X_5 \end{aligned} \]

10.2.3 Beispiel \(\lambda_{4}\)

Der vierte Kontrast scheint etwas kryptisch zu sein. Auf den ersten Blick ist es schwierig die Kontrastgewichte zu interpretieren. Dieser Kontrast ist eine Interaktion. Interaktionen treten auf, wenn mehrere Kontraste miteinander multipliziert werden. In diesem Beispiel wurden die Kontrastgewichte von \(\lambda_{1}\) mit den Kontrastgewichten von \(\lambda_{3}\) multipliziert:

Contrast Fragestellung \(D_1 M\) \(D_2 M\) \(D_3 M\) \(D_1 F\) \(D_2 F\) \(D_3 F\)
\(\lambda_{1}\) Diät 1/2 vs. Diät 3 1 1 -2 1 1 -2
\(\lambda_{3}\) Männer vs. Frauen 1 1 1 -1 -1 -1
\(\lambda_{4}\) Interaktion \(\lambda_{1}\) und \(\lambda_{3}\) 1 1 -2 -1 -1 2
\(\lambda_{4}\) Interaktion \(\lambda_{1}\) und \(\lambda_{3}\) \(1 * 1\) \(1*1\) \(1 * (-2)\) \(1 * (-1)\) \(1 * (-1)\) \((-2) * (-1)\)

Interaktionen beantworten immer die Frage, ob ein Effekt abhängig von der Ausprägung eines anderen Faktors ist. Stell dir vor du erhältst einen signifikanten Effekt auf \(\lambda_{1}\) und eine signifikante Interaktion auf \(\lambda_{4}\). Dies würde bedeuten, dass der Effekt der Diät 3 abhängig davon ist, ob Männer oder Frauen die Diät bekommen. Diese Ergebnisse haben erhebliche Auswirkungen auf die Interpretation der Daten. Stell dir ein anderes Beispiel vor: Es könnte sein, wir finden heraus, dass der Effekt einer bestimmten Lernstrategie nur bei Menschen mit geringem Vorwissen auftritt. Wir könnten diese Information nutzen, um gezielt der passenden Zielgruppe eine bestimmte Lernstrategie zu empfehlen. Wir werden später noch ausführlich über Interaktionen sprechen.

10.2.4 Haupteffekte

Zuletzt möchten wir häufig die Haupteffekte einer mehrfaktoriellen Varianzanalyse berichten. Beispielsweise möchten wir prüfen, ob es Unterschiede in der Gewichtsreduzierung zwischen den Diäten gibt. Diese Frage ist ähnlich derer, die wir bereits bei der einfaktoriellen Varianzanalyse gestellt haben. Haupteffekte prüfen wir, indem wir die Kontraste, welche die Unterschiede in den Ausprägungen einer Gruppe prüfen im kompakten Modell entfernen:

Contrast Fragestellung \(D_1 M\) \(D_2 M\) \(D_3 M\) \(D_1 F\) \(D_2 F\) \(D_3 F\)
\(\lambda_{1}\) Diät 1/2 vs. Diät 3 1 1 -2 1 1 -2
\(\lambda_{2}\) Diät1 vs. Diät 2 1 -1 0 1 -1 0
\(\lambda_{3}\) Männer vs. Frauen 1 1 1 -1 -1 -1
\(\lambda_{4}\) Interaktion \(\lambda_{1}\) und \(\lambda_{3}\) 1 1 -2 -1 -1 2
\(\lambda_{5}\) Interaktion \(\lambda_{2}\) und \(\lambda_{3}\) 1 -1 0 -1 1 0

\[ \begin{aligned} Model_{A} &= b_0 + b_1 * X_1 + b_2 * X_2 + b_3 * X_3 + b_4 *X_4 &+ b_5 * X_5 \\ Model_{C} &= b_0 + b_3 * X_3 + b_4 *X_4 &+ b_5 * X_5 \end{aligned} \]

Achte darauf, dass der Haupteffekt des Faktors Geschlecht bereits durch den Kontrast \(\lambda_{3}\) abgedeckt ist, da dieser Faktor nur zwei Ausprägungen hat und demnach nur einen Kontrast benötigt.